Rumus
matematika itu sangat banyak, tidak mungkin bisa kita hafal semua. Yang
paling penting dalam mengerjakan soal olimpiade matematika adalah dengan
memahami konsep, bukan menghafal rumus, sekalipun anda jago dalam
menghafal.
Ada dua tipe
soal matematika, yaitu soal rutin dan soal nonrutin. Soal rutin
merupakan soal-soal matematika yang biasa diajarkan di sekolah, baik SD,
SMP, maupun SMA. Pada jenis soal ini, anda cukup menggunakan rumus
matematika yang telah anda pelajari, dan soal tersebut bisa anda
selesaikan dengan mudah. Berbeda dengan soal rutin, pada soal rutin anda
tidak akan bisa mengerjakan soal dengan cara sederhana. Dibutuhkan
kreativitas dan logika berpikir yang baik agar anda dapat
mengerjakannya. Alasannya, anda tidak akan tahu rumus matematika yang
mana yang akan digunakan untuk mengerjakan soal tersebut, atau anda
tidak menyangka bahwa suatu konsep dasar matematika bisa digunakan untuk
mengerjakan soalnya. Disinilah menghafal rumus matematika itu tidak
begitu membantu.
Perhatikan contoh berikut:
Diketahui persamaan kuadrat 6x2–19x+15=0 mempunyai akar-akar p dan q. Tentukanlah nilai dari a2+b2.
Bagi siswa SMA, soal ini sangat mudah, dapat dikerjakan dengan beberapa cara. Pertama, dengan mencari nilai p dan q terlebih dahulu, lalu mencari nilai dari p2+q2. Dengan memfaktorkan persamaan tersebut, didapat: (2x–3)(3x–5)=0. Sehingga nilai p=32 dan nilai q=53. Maka nilai p2+q2=(32)2+(53)2=18136
Cara kedua adalah dengan menggunakan teorema vieta untuk persamaan kuadrat (di Matematika SMA ini disebut dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar). Pada persamaan kuadrat tersebut, p+q=196 dan pq=156. Dengan memperhatikan bahwa p2+q2=(p+q)2–2pq, maka didapat p2+q2=(196)2–2.156=18136
Sekarang perhatikan contoh berikut ini:
Persamaan kuadrat x2–x+1=0 mempunyai akar-akar a dan b. Tentukanlah nilai dari a8+b8
Coba anda kerjakan soal tersebut sebelum membaca lebih lanjut!
Apakah anda bisa mengerjakannya? Jelas anda tidak bisa memfaktorkan persamaan kuadrat tersebut untuk mendapatkan nilai dari a dan b. Anda juga tidak bisa menggunakan rumus abc, karena akar-akar persamaan tersebut tidak real, terlihat dari diskriminannya yang negatif. Bagaimana dengan menggunakan teorema vieta? Ya, anda bisa menggunakannya, tetapi akan jauh lebih sulit, dimana anda harus menguraikan a8+b8 menjadi bentuk (a+b) dan ab
Cara mengerjakannya adalah dengan memahami konsep akar-akar persamaan kuadrat.
Jika persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 mempunyai akar-akar p dan q, itu artinya jika kita mengganti nilai x dengan p atau q, maka hasilnya menjadi 0.
Dengan menggunakan konsep ini pada soal di atas, kita mendapatkan: a2–a+1=0. Selanjutnya: a2=a–1 a4=(a–1)2=a2–2a+1=a–1–2a+1=−a a8=(−a)2=a2.
Dengan cara yang sama didapat: b8=b2
Dengan demikian, kita dapat:
a8+b8=a2+b2=(a+b)2–2ab=12–2.1=−1
Jadi, rumus matematika itu jangan hanya dihafal, tetapi harus memahami konsepnya, terlebih jika anda ingin mengikuti lomba/olimpiade matematika.
Perhatikan contoh berikut:
Diketahui persamaan kuadrat 6x2–19x+15=0 mempunyai akar-akar p dan q. Tentukanlah nilai dari a2+b2.
Bagi siswa SMA, soal ini sangat mudah, dapat dikerjakan dengan beberapa cara. Pertama, dengan mencari nilai p dan q terlebih dahulu, lalu mencari nilai dari p2+q2. Dengan memfaktorkan persamaan tersebut, didapat: (2x–3)(3x–5)=0. Sehingga nilai p=32 dan nilai q=53. Maka nilai p2+q2=(32)2+(53)2=18136
Cara kedua adalah dengan menggunakan teorema vieta untuk persamaan kuadrat (di Matematika SMA ini disebut dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar). Pada persamaan kuadrat tersebut, p+q=196 dan pq=156. Dengan memperhatikan bahwa p2+q2=(p+q)2–2pq, maka didapat p2+q2=(196)2–2.156=18136
Sekarang perhatikan contoh berikut ini:
Persamaan kuadrat x2–x+1=0 mempunyai akar-akar a dan b. Tentukanlah nilai dari a8+b8
Coba anda kerjakan soal tersebut sebelum membaca lebih lanjut!
Apakah anda bisa mengerjakannya? Jelas anda tidak bisa memfaktorkan persamaan kuadrat tersebut untuk mendapatkan nilai dari a dan b. Anda juga tidak bisa menggunakan rumus abc, karena akar-akar persamaan tersebut tidak real, terlihat dari diskriminannya yang negatif. Bagaimana dengan menggunakan teorema vieta? Ya, anda bisa menggunakannya, tetapi akan jauh lebih sulit, dimana anda harus menguraikan a8+b8 menjadi bentuk (a+b) dan ab
Cara mengerjakannya adalah dengan memahami konsep akar-akar persamaan kuadrat.
Jika persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 mempunyai akar-akar p dan q, itu artinya jika kita mengganti nilai x dengan p atau q, maka hasilnya menjadi 0.
Dengan menggunakan konsep ini pada soal di atas, kita mendapatkan: a2–a+1=0. Selanjutnya: a2=a–1 a4=(a–1)2=a2–2a+1=a–1–2a+1=−a a8=(−a)2=a2.
Dengan cara yang sama didapat: b8=b2
Dengan demikian, kita dapat:
a8+b8=a2+b2=(a+b)2–2ab=12–2.1=−1
Jadi, rumus matematika itu jangan hanya dihafal, tetapi harus memahami konsepnya, terlebih jika anda ingin mengikuti lomba/olimpiade matematika.
Sumber: mhs.blog.ui.ac.id
